Binomischer Lehrsatz
Die Summenformel vom Binomium lautet
Erläuterung
Wir entwickeln das Binomium
⁰ = 1.gif){kind=small}
¹ = a + b.gif){kind=small}
² = a² + 2ab + b².gif){kind=small}
³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.gif){kind=small}
⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.gif){kind=small}
⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5a b⁴ + b⁵.gif){kind=small}
⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a² b⁴ + 6a b⁵ + b⁶.gif){kind=small}
Jeder Term kann man schreiben in der Form
Koeffizient × am bn
Die Entwicklung der Koeffizienten entspricht dem Pascalschen Dreieck.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
Eine Zahl wird gebildet durch die Summe von der Zahl links und rechts darüber. In den Reihen nehmen die Zahlen erst zu, und dann nehmen sie wieder ab. Genau das gibt es auch bei Kombinationen. Dort steht die Formel
Die obere Zahl n ist die Potenz vom Binomium, die untere Zahl k ist die laufende Nummer der Terme im Ergebnis. Wir schreiben deswegen
Man kann leicht feststellen, dass
Das kann man auch schreiben als
aber das ist lauter Geschmackssache. In seiner einfachsten Form ergibt das Binomium